解析学におけるバナッハ極限（英: Banach limit）とは有界な実数列の成すバナッハ空間 ℓ ∞ {\displaystyle \ell ^{\infty }} で定義された汎関数 L I M : ℓ ∞ → R {\displaystyle \mathrm {LIM} :\ell ^{\infty }\to \mathbb {R} } で、任意の数列 x = {\displaystyle x=} と y = {\displaystyle y=} に対して次の条件を満たすものをいう： L I M = α L I M + β L I M {\displaystyle \mathrm {LIM} =\alpha \mathrm {LIM} +\beta \mathrm {LIM} } ； すべての x n ≥ 0 {\displaystyle x_{n}\geq 0} ならば L I M ≥ 0 {\displaystyle \mathrm {LIM} \geq 0} ； L I M = L I M {\displaystyle \mathrm {LIM} =\mathrm {LIM} } で S {\displaystyle S} は n = x n + 1 {\displaystyle _{n}=x_{n+1}} で定義されるシフト作用素である； lim inf n → ∞ x n ≤ L I M ≤ lim sup n → ∞ x n {\displaystyle \liminf _{n\to \infty }x_{n}\leq \mathrm {LIM} \leq \limsup _{n\to \infty }x_{n}} 最後の条件より L I M {\displaystyle \mathrm {LIM} } は線形汎関数 lim n → ∞ {\displaystyle \lim _{n\to \infty }} の延長であることが分かる。 Wikipedia